Dérivation, convexité - Spécialité
Étude de fontion : exponentielle
Exercice 1 : Etude de fonctions avec exponentielle (exp(x) + a)/(exp(x) - 1) (sans logarithme)
Soit la fonction \(f\) définie ci-dessous :
\[ f: x \mapsto \dfrac{e^{x} + 9}{e^{x} -1} \]Déterminer la dérivée de \(f\).
Donner l'ensemble des solutions de \(f'(x) \leq 0\).
Compléter le tableau de variation de \(f\).
Exercice 2 : Etude de fonctions x*exp(ax+b) (avec a,b appartenant à Z \ {0})
Soit la fonction \(f\) définie ci-dessous :
\[ f: x \mapsto xe^{-8x -2} \]Déterminer la dérivée de \(f\).
Donner l'ensemble des solutions de \(f'(x) \lt 0\).
Compléter le tableau de variation de \(f\).
Exercice 3 : Etude de fonctions avec exponentielle ( exp(x) + a ) / (exp(x) + b) (contient ln)
Soit la fonction \(f\) définie ci-dessous :
\[ f: x \mapsto \dfrac{e^{x} -9}{e^{x} + 2} \]Déterminer la dérivée de \(f\).
Donner l'ensemble des solutions de \(f'(x) \leq 0\).
Compléter le tableau de variation de \(f\).
Exercice 4 : Dérivées forme u.v : (ax+b).exp(c*x+d) (avec coefficients appartenant à Q*)
Écrire la dérivée de la fonction \(f\) sous une forme factorisée au maximum.
On admettra qu'elle est dérivable sur chaque intervalle contenu dans son domaine de définition \( D \) = \( \mathbb{R} \) \[ f: x \mapsto \left(\dfrac{-1}{3}x + \dfrac{-5}{7}\right)e^{\dfrac{-3}{4}x + \dfrac{-5}{9}} \]
On admettra qu'elle est dérivable sur chaque intervalle contenu dans son domaine de définition \( D \) = \( \mathbb{R} \) \[ f: x \mapsto \left(\dfrac{-1}{3}x + \dfrac{-5}{7}\right)e^{\dfrac{-3}{4}x + \dfrac{-5}{9}} \]
Exercice 5 : Etude de fonctions (ax²+bx+c)*exp(mx+p) (avec a,b,c,m,p appartenant à Z \ {0})
Soit la fonction \(f\) définie ci-dessous :
\[ f: x \mapsto \left(2x^{2} + 18x + 39\right)e^{2x + 2} \]Déterminer la dérivée de \(f\).
Donner l'ensemble des solutions de \(f'(x) \leq 0\).
Compléter le tableau de variation de \(f\).